Олімпіада

8 клас

1. Остання цифра трицифрового числа дорівнює 2. Якщо переставити останню цифру на початок числа, то отримане число зменшиться на 36. Яка сума цифр цього числа?

Відповідь. 10.

 2. Знайдіть усі натуральні значення n, при яких є цілим числом значення виразу 

(n^2 +2n-8):n

Відповідь. 1, 2, 4, 8.

3. У рівнобічній трапеції ABCD (AB=CD, BC<AD) проведені висота ВН та діагональ ВD. З‘ясувалося, що ця діагональ є бісектрисою кута CDA. Доведіть, що величина кута HBD дорівнює сумі величин кутів АВН і CBD.

4. Є 40 зовні однакових монет, серед яких 2 фальшиві, причому вони легші від справжніх і важать однаково. Як за допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир відібрати 20 справжніх монет?

Вказівка. Розіб‘ємо монети на три купки: А, В і С, що містять по 10, 10 і 20 монет відповідно. Перше зважування: порівняємо вагу А і В. Можливі два випадки. Якщо А=В, то порівнюємо вагу А+В  і С. Якщо A>B (другий випадок аналогічний), то розіб‘ємо С на дві купки по 10 монет і порівняємо їхню вагу.

10 клас

1. Скільки коренів має рівняння /x^2 -4/x//=a, залежно від значення параметра а?

Відповідь: якщо a<0 3="" span="" style="mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;">0, то рівняння має 6 коренів; якщо а=4, то рівняння має 4 корені; якщо a>4, то рівняння має 2 корені.

2. Члени арифметичної прогресії  є цілими числами. Відомо, що добуток третього і шостого членів арифметичної прогресії дорівнює 406 і при діленні її дев‘ятого члена на четвертий член у частці отримуємо 2, а в остачі 6. Знайдіть перший член і різницю прогресії.

Відповідь. 4; 5.

 4. Сторона трикутника дорівнює 10 см, а медіани, проведені до двох інших сторін, – 9 см і 12 см. Знайдіть площу трикутника.

Вказівка.

Відповідь. 72 см².

5. Доведіть, що для будь-якого натурального n значення виразу 4^n+15n-1 кратне 9.

ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

6        клас

1.Три цифри п’ятицифрового числа одиниці. Відомо, що це число ділиться на 72. Знайти всі такі п’ятицифрові числа.

         

 2. Скільки різних правильних дробів і неправильних  дробів можна скласти з чисел  3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23?

Розв’язання:

З числом 3 в чисельнику за допомогою заданих чисел можна скласти 7 різних правильних дробів. Аналогічно з числами 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23 в чисельнику за допомогою заданих чисел можна скласти 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0 відповідно правильних дробів. Отже, всіх різних правильних дробів  7+6+5+4+3+2+1=28. Аналогічно можна підрахувати кількість неправильних дробів, врахувавши дроби у яких чисельник і знаменник рівні.

Відповідь: правильних дробів 28; неправильних дробів 36 (якщо врахувати, що деякі з них становлять 1, то правильною можна вважати відповідь і 29).

3. Малюк може з’їсти торт за 10 хвилин, банку варення – за 8 хвилин і випити горщик молока за 12 хвилин, а Карлсон може це зробити за 2 хв, 3 хв, 4 хв відповідно. За який час вони разом  можуть з’їсти торт, банку варення і випити горщик молока?

4.Куб пофарбували з усіх боків, а потім розрізали на 1000 рівних кубиків. Скільки кубиків мають пофарбовані 3 грані ? У скількох кубиках не пофарбована жодна грань?

5. Сім гномів зібрали 29 грибів, причому жоден не приніс порожнього кошика. Довести, що хоча б двоє гномів зібрали однакову кількість грибів, якщо ніхто більше 7 грибів не знайшов.

Розв’язання:

Припустимо, що всі гноми зібрали різну кількість грибів. Тоді вони разом зібрали: 1+2+3+4+5+6+7=28, а за умовою 29 грибів. Отже, ще один гриб знайшов один з гномів, і тоді у двох гномів однакова кількість грибів.

ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

7        клас

1.     Знайти всі двоцифрові числа, які збільшуються у 8,5 раза, якщо між цифрами вписати  0.

                                 

2. Знайти останню цифру числа

Розв’язання:

Число 33 при піднесенні до степеня може закінчуватись цифрами 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1,… . Отже, число 33 буде закінчуватись цифрою 9. Аналогічно, можна довести, що число  закінчується цифрою 8. Тоді число   закінчується  цифрою 7.

 Відповідь: 7

3. Витративши половину всіх коштів, учень побачив, що гривень в нього залишилось вдвічі менше, ніж спочатку було копійок,  і стільки копійок, скільки на початку було гривень. Скільки грошей витратив учень, якщо копійок у нього було менше 100?

4. Довести, що добуток п’яти послідовних цілих чисел ділиться на 120.

5. Вся площина розмальована в чотири кольори. Чи обов’язково знайдеться пряма, яка містить принаймні   три  точки різного кольору?

Розв’язання:

Розглянемо чотири точки різного кольору. Якщо три з них лежать на одній прямій, то  це і є шукана пряма. Якщо жодні три точки не лежать на одній прямій, то вони утворюють чотирикутник. Розглянемо точку перетину прямих, що містять діагоналі цього чотирикутника, якого б кольору вона не була, одна із діагоналей є шуканою прямою.

ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

8        клас

1.Якщо між цифрами двоцифрового числа вписати те саме двоцифрове число, то одержане чотирицифрове число буде більше від початкового числа  у 77 разів. Знайти це двоцифрове число.

4.  Микола з сином і Петро з сином були на рибалці. Микола спіймав стільки ж риб, скільки і його син, а Петро – втроє більше, ніж його син. Всього було спіймано 25 риб. Як звати сина Петра?

5. Дві висоти ромба, проведені з вершин  його тупих кутів перетинаються і точкою перетину поділяються у відношенні 1:2. Визначити кути ромба.

ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

9        клас

1.Садівник повинен протягом трьох днів посадити 10 дерев. Скількома способами він може розподілити за днями свою роботу, якщо буде висаджувати не менше одного дерева в день?

5. У прямокутному трикутнику гіпотенуза в 4 рази більша за висоту, проведену з вершини прямого кута. Знайти гострі кути трикутника.

          ІІ етап Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики

10    клас

4. Дано трапецію основи якої  а і 3а, бічні сторони 2а. Знайти відстань між центрами вписаного та описаного кіл.

5. На дощці записано рівняння   . Два гравці по черзі  вписують на  вільних місцях цілі числа – коефіцієнти рівняння (за один хід можна вписати тільки одне число, хід пропускати не можна). Перший гравець виграє в тому випадку, якщо всі корені рівняння - цілі числа. Чи існує виграшна стратегія? Відповідь поясніть.

     

6 клас

1. Сьогодні неділя. Марічка почала читати книжку, у якій 290 сторінок. Вона читає 4 сторінки щодня, крім неділі, коли вона прочитує 25 сторінок. Марічка читає кожного дня. За скільки днів вона прочитає книгу?

3. Є сім зовні однакових монет, серед яких п‘ять справжніх (усі однакової маси) і дві фальшиві (однакової маси, але легші за справжні). Як за допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир виділити три справжні монети?

4. На дошці записують послідовність чисел 1, 2, 4, 8, 16, 23, 28 і т. д. (кожне наступне число одержують із попереднього додаванням до нього його ж суми цифр). Чи буде записаним на дошці число 200120022003?

Вказівка. Прослідкуйте за остачами від ділення цих чисел на 3.

5. Одинадцять учнів відвідують п‘ять гуртків (учень не обов‘язково відвідує всі гуртки). Доведіть, що серед них є два учні, А і В, такі, що всі гуртки, які відвідує А, відвідує й В.

7 клас

2. На моїй вулиці є 17 будинків. Я живу у будинку під номером 12, який є останнім на стороні вулиці з парними номерами будинків. Мій приятель живе в останньому будинку на стороні вулиці з непарними номерами будинків. Який номер його будинку?

4. У лісосмузі ростуть 18 дубів. На всіх них порівну жолудів. Подув вітер, і з деяких дубів посипалися жолуді: з деяких – рівно половина, з деяких – рівно третина, а з решти – жодного жолудя. При цьому з усіх дубів разом упала рівно 1/9  частина всіх жолудів. Із скількох дубів жолуді не падали?

5. Петрик вибрав три різні цифри  і записав усі можливі різні тризначні натуральні числа, десятковий запис кожного з котрих містить усі три вибрані цифри, але не може починатися з нуля. З‘ясувалося, що сума всіх записаних чисел дорівнює 3376. Визначте, які саме цифри були вибрані, і доведіть, що інших варіантів немає.

8 клас

1. Остання цифра трицифрового числа дорівнює 2. Якщо переставити останню цифру на початок числа, то отримане число зменшиться на 36. Яка сума цифр цього числа?

4. У рівнобічній трапеції ABCD (AB=CD, BC<AD) проведені висота ВН та діагональ ВD. З‘ясувалося, що ця діагональ є бісектрисою кута CDA. Доведіть, що величина кута HBD дорівнює сумі величин кутів АВН і CBD.

5. Є 40 зовні однакових монет, серед яких 2 фальшиві, причому вони легші від справжніх і важать однаково. Як за допомогою двох зважувань на шалькових терезах без гир відібрати 20 справжніх монет?

Вказівка. Розіб‘ємо монети на три купки: А, В і С, що містять по 10, 10 і 20 монет відповідно. Перше зважування: порівняємо вагу А і В. Можливі два випадки. Якщо А=В, то порівнюємо вагу А+В  і С. Якщо A>B (другий випадок аналогічний), то розіб‘ємо С на дві купки по 10 монет і порівняємо їхню вагу.

9 клас

1. Одна сторона трикутника дорівнює 4 см, а сума двох інших – 8 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника, якщо довжина кожної з них дорівнює цілому числу сантиметрів.

2. Доведіть, що для будь-яких додатних чисел a, b і с виконується нерівність

    ab(a+ b - 2c) +bc(b+c-2a)+ac(a+c-2b)

бо за умовою а>0, b>0 і c>0.

3. Відомо, що х₁ і х₂ – корені рівняння x^2-(2a-3)x+a^2 -4=0  Знайдіть значення а, при яких виконується рівність  3x1 +3x2=x1x2

4. Сторони паралелограма дорівнюють a і b, а діагоналі d₁ і d₂. Відомо, що а^4+b^4=d^2₁ d^2₂  Доведіть, що гострий кут паралелограма дорівнює 45º.

5. Розв‘яжіть в простих числах рівняння х^у+1=z

10 клас

 4. Сторона трикутника дорівнює 10 см, а медіани, проведені до двох інших сторін, – 9 см і 12 см. Знайдіть площу трикутника.

Відповідь. 72 см². 

11 клас

1. Бічна сторона рівнобічної трапеції дорівнює її меншій основі. Яким має бути кут при більшій основі трапеції, щоб її площа була найбільшою?